Question

20．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE=$\frac{1}{2}$时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；
（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；
（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．

解答 解：（1）如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
∴∠3+∠2=∠ECF=90°，
∴∠1=∠3，
在△CDE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CBF}\\{DC=BC}\\{∠1=∠3}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CBF，

（2）在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，
∴$\frac{BG}{AE}=\frac{BF}{AF}$，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∴BF=DE=$\frac{1}{2}$，
∵正方形的边长为1，
∴AF=AB+BF=$\frac{3}{2}$，AE=AD-DE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BG}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}$，
∴BG=$\frac{1}{6}$，
∴CG=BC-BG=$\frac{5}{6}$；

（3）不能，
理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG，
∴AD-AE=BC-CG，
∴DE=BG，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∴DE=BF，CE=CF，
∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，
∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，
∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，
此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，
∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定，解（1）的关键是判定∠1=∠3，解（2）的关键是判断出△GBF∽△EAF，解（3）的关键是判断出∠CFA=90°，是一道常考题．