Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12．
（1）用尺规作图的方法作AB的垂直平分线MN，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求第（1）题中的CM的长．

Answer 1

分析 （1）根据尺规作图的方法，作AB的垂直平分线MN，分别交BC、AB于点M、N；
（2）根据线段垂直平分线的性质，得出∠BAM=∠B=30°，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠CAM=90°，再根据含30度角的直角三角形的性质，得出MC=2AM=2BM，最后求得CM的长．

解答 解：（1）如图所示，MN即为所求；


（2）如图，连结AM，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MB=MA
∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠AMC=30°+30°=60°，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠CAM=180°-60°-30°=90°，
∵在Rt△ACM中，∠C=30°，
∴MC=2AM=2BM，
又∵BC=12，
∴3BM=12，即BM=4，
∴MC=2BM=8．

点评 本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．