Question

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB．
（1）求证：mn=-6；
（2）当S_△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S_△POF：S_△QOF=1：3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点，
∵A，B点坐标分别为（m，6），（n，1），
∴BC=1，OC=-n，OD=m，AD=6，
又OA⊥OB，
易证△CBO∽△DOA，
∴

CB

CO

=

DO

DA

，
∴

1

m

=

-n

6

∴mn=-6．

（2）由（1）得，∵△CBO∽△DOA，
∴

OB

OA

=

BC

OD

=

1

m

，即OA=mBO，
又∵S_△AOB=10，
∴

1

2

OB•OA=10，
即OB•OA=20，
∴mBO²=20，
又OB²=BC²+OC²=n²+1，
∴m（n²+1）=20，
∵mn=-6，
∴m=2，n=-3，
∴A坐标为（2，6），B坐标为（-3，1），易得抛物线解析式为y=-x²+10．

（3）直AB为y=x+4，且与y轴交于F（0，4）点，
∴OF=4，
假设存在直线l交抛物线于P，Q两点，且使S_△POF：S_△QOF=1：3，如图所示，
则有PF：FQ=1：3，作PM⊥y轴于M点，QN⊥y轴于N点，
∵P在抛物线y=-x²+10上，
∴设P坐标为（x，-x²+10），
则FM=OM-OF=（-x²+10）-4=-x²+6，
易证△PMF∽△QNF，
∴

PM

QN

=

MF

FN

=

PF

QF

=

1

3

，
∴QN=3PM=-3x，NF=3MF=-3x²+18，
∴ON=-3x²+14，
∴Q点坐标为（-3x，3x²-14），
∵Q点在抛物线y=-x²+10上，
∴3x²-14=-9x²+10，
解得：x=-

2

，
∴P坐标为(-

2

，8)，Q坐标为(3

2

，-8)，
∴易得直线PQ为y=2

2

x+4．
根据抛物线的对称性可得直线PQ另解为y=-2

2

x+4．