Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE＝MN.

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】试题分析：取AB的中点H，连接MH、NH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得NH=AE，NH∥AE，MH=BF，MH∥BF，再求出AE=BF，∠MHN=90°，判断出△MNG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得NH=MN，再表示出AE即可得证．

试题解析：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝BF，

NH＝AE.

∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.∴MH＝NH.

∵点M，N，N分别为AF，AB，BE的中点，

∴MH∥BF，NH∥AE.

∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.

∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.∴NH＝MN.

∴AE＝2NH＝2×MN＝ MN.