Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，直线CD交BA的延长线于点C，BF⊥直线CD，垂足为F，且∠CBD=∠DBF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若CD=6，CA：CB=1：3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OD，证明OD⊥DF即可，根据直角三角形的两锐角互余即可证得；
（2）根据切割线定理，即可求得AB的长，进而求得半径的长．

解答：（1）证明：连接OD．
在直角△BDF中，∠DBF+∠BDF=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠CBD，
又∵∠CBD=∠DBF，
∴∠ODB+∠BDF=90°，
即∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴CF是⊙O的切线；

（2）设CA=x，则CB=3x．
∵CD是圆的切线．
∴CD²=CA•CB，
即：36=3x²
∴x=2

3

，
∴AB=CB-CA=2x=4

3

．
∴圆的半径是：2

3

．

点评：本题主要考查了切线的判定定理以及切割线定理，正确证明切线是解题的关键．