Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，若A、B两点的横坐标分别是一元二次方程x²-2x-3=0的两个实数根，与y轴交于点C（0，3），
（1）求抛物线的解析式；
（2）在此抛物线上求点P，使S_△ABP=8．

Answer 1

解：（1）∵一元二次方程x²-2x-3=0的两个实数根为，x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴，
解得，
故此抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）设P点坐标为（a，b），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵S_△ABP=8，AB•|b|=8，
解得|b|=4，
∵点P在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴当b=4时，即-a²+2a+3=4，解得a=1；
当b=-4时，即-a²+2a+3=-4，解得a=1+2或a=1-2，
∴P点坐标为P₁（1，4），P₂（1+2，-4），P₃（1-2，-4）．
分析：（1）先求出一元二次方程x²-2x-3=0的两个实数根即可得出A、B两点的坐标，再根据抛物线与y轴交于点C（0，3），可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先求出AB的长，再根据S_△ABP=8可求出P点的纵坐标，再根据P点在抛物线上即可得出其横坐标，故可得出结论．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点及用到定系数法求抛物线的解析式，根据题意求出A、B两点的坐标是解答此题的关键．