Question

已知：如图，矩形ABCD中，AD=4cm，AB=8cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．求EF的长．

Answer 1

分析：首先由折叠的性质知BE=ED，∠BEG=∠DEG，可得△BDE是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得BG=GD，BD⊥EF，再在Rt△CBD中，利用勾股定理算出BD的长，再在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE的长，进而得到EB的长，再次利用勾股定理计算出EG的长，然后证明△EBG≌△FGD，继而得到GF=EG，从而得到EF的长．

解答：解：连接BD，交EF于点G，
由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，
则△BDE是等腰三角形，
∵∠BEG=∠DEG，
∴BG=GD，BD⊥EF（顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线），
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AD=BC=4cm，AB=DC=8cm，
在Rt△CBD中，BD=

DC2+CB2

=

64+16

=4

5

，
∵BG=DG，
∴DG=

1

2

DB=2

5

，
设AE=x，则DE=BE=8-x，
在Rt△ADE中：AE²+AD²=DE²，
则x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
则ED=EB=8-3=5，
在Rt△EBG中：EG²+BG²=EB²，
EG=

25-20

=

5

，
∵BD⊥EF，
∴∠DGF=∠EGB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠EBG=∠GDF，
在△EBG和△FGD中

∠EBG=∠FDG ∠EGB=∠FGD BG=DG

，
∴△EBG≌△FGD（AAS），
∴GF=EG=

5

，
∴EF=2

5

．

点评：此题主要考查了折叠的性质，以及勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．