Question

在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB，已知OA=2，∠AOB=30度．D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒

3

个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设D、E两点的运动时间为t秒．
（1）点A的坐标为

 

，点B的坐标为

 

；
（2）在点D、E的运动过程中，直线DE与直线OA垂直吗？请说明理由；
（3）当时间t在什么范围时，直线DE与线段OA有公共点？
（4）将直角三角形纸片AOB在直线DE下方的部分沿DE向上折叠，设折叠后重叠部分面积为S，请写出S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：OA=2，∠AOB=30°，则根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半，则AB=1，根据勾股定理可以求得OB=

3

；所以可以求得点A与点B的坐标．
（2）如果连接DE，那么根据D、E两点的速度可得出OD：OE=

3

，因此直角三角形ODE中，∠OED=60°，而已知了∠AOB=30°，即可得出OA⊥DE．
（3）本题只需考查直线DE过O，A两点时，t的取值即可．
（4）本题要分三种情况进行讨论．
①当0≤t≤

2 3

3

时，重合部分是三角形．
②当

2 3

3

＜t≤

3

时，重合部分是四边形．
③当

3

＜t≤

4 3

3

时，重合部分是三角形．
可据此来求出S，t的关系式，以及S的最大取值．

解答：解：（1）由题意可知：OA=2，∠AOB=30°，则根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半，则AB=1，根据勾股定理可以求得OB=

3

；则点A的坐标为（1，

3

），点B的坐标为（0，

3

）；

（2）垂直．
理由：连接DE，直角三角形ODE中，tan∠OED=

OD

OE

=

3

，
∴∠OED=60°．
∵∠BOA=30°，
∴OA⊥ED．

（3）因为DE总是垂直于OA运动，因此可以看做直线DE沿OA方向进行运动．因此两者有公共点的取值范围就是O?A之间．
当DE过O点时，t=0．
当DE过A点时，直角三角形OAD中，OA=2，∠ODA=30°，因此OD=4，t=

4 3

3

．
因此t的取值范围是0≤t≤

4 3

3

．

（4）当0≤t≤

2 3

3

时，S=

3

8

t²；Smax=

3

6

；
当

2 3

3

＜t≤

3

时，S=

3

2

-

3

8

t²-

3

2

（

3

-t）²=-

5 3

8

（t-

4 3

5

）²+

3

5

，Smax=

3

5

；
当

3

＜t≤

4 3

3

时，S=

3

2

（2-

3

2

t）²，S无最大值；
综上所述S的最大值为

3

5

．

点评：本题中对于点的运动要分类进行讨论．分类讨论是初中数学重要的思想方法，难点是一要想到用讨论的方法进行求解．二是讨论界限要确定不要漏解和重复．