Question

16．如图，在正方形ABCD中，动点P在射线CB上（与B、C不重合），连结AP，过D作DF∥AP交直线BC于点F，过F作FE⊥直线BD于点E，连结AE、PE．
（1）如图1，当点P在线段CB上时
①求证：△ABP≌△DCF；
②点P在运动过程中，探究：△AEP的形状是否发生变化，若不变，请判断△AEP的形状，并说明理由；
（2）如图2，当点P在CB的延长线上时
①（1）中的结论②是否成立？不必说明理由；
②若正方形ABCD的边长为1，设BP=x，当x为何值时，DF平分∠BDC？

Answer 1

分析 （1）①根据正方形的性质得到AB=DC，∠ABC=∠DCF=90°，利用AAS定理证明△ABP≌△DCF；
②证明△ABE≌△CBE，得到AE=CE，∠AEB=∠CEB，证明△EBP≌△EFC，根据全等三角形的性质证明；
（2）①利用与（1）相似的方法解答；
②根据角平分线的性质列出方程，解方程即可．

解答 （1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCF=90°，
∵DF∥AP，
∴∠APB=∠DFC，
在△ABP和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠DFC}\\{∠ABP=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DCF；
②△AEP的形状不发生变化，△AEP是等腰直角三角形，
理由：连结CE，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∠AEB=∠CEB，
∵FE⊥BD，∠EBF=45°，
∴EB=EF，∠EBF=∠EFB=45°
∵△ABP≌△DCF，
∴BP=FC，
∴△EBP≌△EFC，
∴EP=EC，∠BEP=∠FEC，
∴AE=EP，
∠AEB+∠BEP=∠BEC+∠CEF=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形；
（2）①（1）中的结论②成立，
证明方法与（1）相同；
②若DF平分∠BDC，
则EF=CF，
∵CF=BP=x，
∴BF=1-x，
∵△BEF是等腰直角三角形
∴BF=$\sqrt{2}$EF，
∴1-x=$\sqrt{2}$x，
解得x=$\sqrt{2}$-1，
∴当x=$\sqrt{2}$-1时，DF平分∠BDC．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．