Question

音乐喷泉的某一个喷水口，喷出的一束水流形状是抛物线，在这束水流所在平面建立平面直角坐标系，以水面与此面的相交线为x轴，以喷水管所在的铅垂线为y轴，喷出的水流抛物线的解析式为：y=-x²+bx+2．但控制进水速度，可改变喷出的水流达到的最大高度，及落在水面的落点距喷水管的水平距离．
（1）喷出的水流抛物线与抛物线y=ax²的形状相同，则a=

 

；
（2）落在水面的落点距喷水管的水平距离为2个单位长时，求水流抛物线的解析式；
（3）求出（2）中的抛物线的顶点坐标和对称轴；
（4）对于水流抛物线y=-x²+bx+2．当b=b₁时，落在水面的落点坐标为M（m，0），当b=b₂时，落在水面的落点坐标为N（n，0），点M与点N都在x轴的正半轴，且点M在点N的右边，试比较b₁与b₂的大小．

Answer 1

分析：（1）两个抛物线的形状相同，则二次项系数的绝对值相等，再根据已知抛物线的开口方向，即可判断a的值；
（2）落在水面的落点距喷水管的水平距离为2个单位长，即抛物线经过点（2，0），代入函数解析式即可求解；
（3）利用配方法即可求解；
（4）点M与点N都在x轴的正半轴，且点M在点N的右边，即m＞n＞0．在抛物线y=-x²+bx+2中令y=0，得到=-x²+bx+2=0．
把坐标M（m，0）代入得到0=-m²+b₁m+2，求得b₁，同理可以求得b₂，即可进行比较．

解答：解：（1）a=-1

（2）落在水面的落点距喷水管的水平距离为2个单位长时，
即点（2，0）在抛物线y=-x²+bx+2上
得：0=-4+2b+2
有b=1
抛物线的解析式为y=-x²+x+2

（3）y=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

抛物线的顶点坐标为（

1

2

，

9

4

），对称轴为直线x=

1

2

（4）∵点M与点N都在x轴的正半轴，且点M在点N的右边
∴m＞n＞0
∴m-n＞0，mn＞0．
∵当b=b₁时，落在水面的落点坐标为M（m，0）
∴0=-m²+b₁m+2
∴b₁=

m2-2

m

同理b₂=

n2-2

n

b₁-b₂=

m2-2

m

-

n2-2

n

=

m2n-2n-mn2+2m

mn

=

mn(m-n)+2(m-n)

mn

=

(m-n)(mn+2)

mn

∴b₁-b₂＞0，
∴b₁＞b₂

点评：本题主要考查抛物线形状相同的形状，配方法是一个比较简单的题目．