Question

已知函数y=x²+bx+c的图象经过A（3，4）和B（2，0）两点．
（1）求函数的解析式及顶点M的坐标；
（2）设点N为线段BM上一点，过点N作x轴的垂线，垂足为Q，当点N在线段BM上运动时（点N不与点B重合），设NQ的长为t，四边形NQAC（C为抛物线与y轴的交点）的面积为S，求S与t之间的函数关系，并求自变量t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可将A，B两点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值．根据得出的抛物线的解析式可得出顶点M的坐标．
（2）由于四边形NQAC不是规则的四边形，因此可将其分割成三角形AOC和图象NQOC两部分进行计算．可先根据B、C的坐标求出直线BC的解析式，然后设出N点的坐标（可根据直线BC的解析式，用横坐标表示出纵坐标），进而表示出OQ、NQ的长，然后按上面分析的四边形NQAC的面积计算方法得出S，t的函数关系式．

解答：解：（1）由题意，可得：

9+3b+c=4 4+2b+c=0

解得：

b=-1 c=-2

因此抛物线的解析式为y=x²-x-2；
顶点M的坐标为：M（

1

2

，-

9

4

）．

（2）由B（2，0），M（

1

2

，-

9

4

）得线段BM所在的直线的解析式为y=

3

2

x-3，
设点N的坐标为（h，-t），点N在线段BM上，将点N代入y=

3

2

x-3中，
得h=2-

2

3

t，其中0＜t＜

9

4

，
由抛物线解析式得C（0，-2），
∴S=

1

2

×1×2+

1

2

（t+2）（2-

2

3

t）=-

1

3

t²+

1

3

t+3
∴S与t间的函数关系式为S=-

1

3

t²+

1

3

t+3
自变量的取值范围是0＜t＜

9

4

．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象交点的求法、图形的面积的求法等知识点．