Question

黄商购物中心准采购数量相同的甲、乙两种衬衫，以相同的售价x（元）进行销售，其中50≤x≤120．甲种衬衫的进价为30元，当定价为50元时，月销量为120件，售价不超过100元时，价格每上涨1元，销量减少1件；价格超过100元时，超过100元的部分，每上涨1元，销量减少2件．销售甲种衬衫的月利润为y₁（元），销售乙种衬衫的月利润为y₂（元），且y₂与x的函数关系式为y2=

20x-800(50≤x≤80) -10x+1600(80＜x≤1200)

．销售这两种衬衫的月利润W（元）是y₁与y₂的和．
（1）求y₁关于x的函数关系式；
（2）求出W关于x的函数关系式；
（3）黄商经理应该如何采购，如何定价，才能使每月获得的总收益W最大？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知销售价x（元）与销量之间的关系得出x的取值范围；根据x的取值范围得出利润与单价以及销量之间的关系式；
（2）根据y₁与y₂的函数关系式，得出y₁+y₂=w，求出即可；
（3）根据自变量的取值范围，分别求出二次函数最值即可．

解答：解：（1）由题意知120-（x-50）≤120，
得：x≥50，
而当x=100时，120-（x-50）=70，
再由70-2（x-100）≥30，
得：x≤120，
故自变量取值范围为50≤x≤120．
y₁=

(x-30)[120-(x-50)]=-x2+200x-5100(50≤x≤100) (x-30)[(70-2(X-100)]=-2x2+330x+8100(100＜x≤120)

；

（2）W=y₁+y₂=

(-x2+200x-5100)+(20x-800)=-x2+220x-5900(50≤x≤80) (-x2+200x-5100)+(-10x+1600)=-x2+190x-3500(80＜x＜100) (-2x+330x-8100)+(-10x+1600)=-2x2+320x-6500(100＜x≤120)

；
（3）W=

-(x-110)2+6200(50≤x≤80) -(x-95)2+5525(80＜x≤100) -2(x-80)2+6300(100＜x≤120)

，
当50≤x≤80时，W随x增大而增大，所以x=80时，W_最大=5300；
当80＜x＜100时，x=95，W_最大=5525；
当100＜x＜120时，W随x增大而减小，而x=100时，W=5500；
综上所述，当x=95时，W最大且W_最大=5525，
故专卖店经理应该将两种衬衫定价为95元，进货数量确定为120-（95-50）=75件时，专卖店月获利最大且为5525元．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，根据自变量取值范围得出二次函数解析式进而求出二次函数最值问题是初中阶段重点题型．