Question

5．若y=ax²+bx+c是关于x的二次函数且a为整数，并且不等式4x≤ax²+bx+c≤2（x²+1）在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为（　　）

• A． y=x²+2x+1
• B． y=x²+2x+2
• C． y=2x²+2x+1
• D． y=2x²+2x+2

Answer 1

分析 由ax²+（b-4）x+c≥0在实数范围内恒成立，可知a＞0，且（b-4）²-4ac≤0，由（2-a）x²-bx-c+2≥0在实数范围内恒成立，可知2-a＞0，且b²-4（2-a）（c-2）≤0，故此可得到a=1，从而可排除C、D，然后将b=2，c=1和b=2，c=2代入（b-4）²-4ac≤0和b²-4（2-a）（c-2）≤0验证即可判断．

解答 解：由4x≤ax²+bx+c得：ax²+（b-4）x+c≥0，
∵不等式在实数范围内恒成立，
∴a＞0，且（b-4）²-4ac≤0．
∵ax²+bx+c≤2（x²+1），
∴（2-a）x²-bx-c+2≥0．
∵不等式在实数范围内恒成立，
∴2-a＞0，且b²-4（2-a）（c-2）≤0．
又∵a为整数，
∴a=1．
故可排除C、D．
∴（b-4）²-4c≤0且b²-4（c-2）≤0．
将b=2，c=1代入不等式成立，故A正确．
将b=2，c=2代入不等式时b²-4（c-2）≤0不成立，故D错误．
故选：A．

点评 本题主要考查的是二次函数和不等式的关系，将不等式问题转化为二次函数与x轴有无交点问题是解题的关键．