Question

如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=150°，正方形的边长为a，求：①∠AFE的度数；
②sin∠BEC的值．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中，
，
∴△BEC≌△DEC（SAS）；

（2）解：①∵△BEC≌△DEC，
∴∠CED=∠CEB，
∵∠DEB=150°，
∴∠CEB=∠DEB=×150°=75°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CBE=180°-45°-75°=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CBE=60°；

②连接BD交AC于O，则AC⊥BD，
∵正方形的边长为a，
∴OB=BD=a，
过点E作EG⊥BC于G，则△CEG是等腰直角三角形，
∴∠CEG=45°，CG=EG，
∠BEG=∠CEB-∠CEG=75°-45°=30°，
设BG=x，则EG=BG÷tan30°=x÷=x，
CG=a-x，
∴a-x=x，
解得x=a=a，
∴BE=BG=（-1）a，
sin∠BEC====．
分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角可得∠BCE=∠DCE，然后利用“边角边”证明即可；
（2）①根据全等三角形对应角相等可得∠CED=∠CEB，然后求出∠CEB，再根据三角形的内角和定理求出∠CBE，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CBE；
②连接BD交AC于O，根据正方形的对角线互相垂直平分求出OB，过点E作EG⊥BC于G，判断出△CEG是等腰直角三角形，再求出∠BEG=30°，设BG=x，然后表示出EG、CG，再根据等腰直角三角形的性质可得CG=EG，然后列出方程求出x的值，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，（2）难度较大，作辅助线构造出等腰直角三角形与含30°角的直角三角形是解题的关键．