Question

如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O分别交AB，AC于点F．点E，AD⊥BC于D，AD交于⊙O于M，交BE于H．
求证：DM²=DH•DA．

Answer 1

证明：连接BM，CM，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BMC=∠BEC=90°，
∵MD⊥BC，
∴∠C+∠CMD=90°，
∵∠CMD+∠BMD=90°，
∴∠MCD=∠BMD，
∠MDC=∠MDB=90°，
∴△BDM∽△MDC，
∴=，
∴MD²=BD•CD，
∵∠AHE=∠BHD，∠AEH=∠HDB=90°，
∴∠DBH=∠DAC，
∠BDH=∠ADC=90°，
∴△BDH∽ADC，
∴=，
∴BD•CD=AD•DH，
∴DM²=DH•DA．
分析：首先利用相似三角形的判定得出△BDM∽△MDC，即可得出MD²=BD•CD，进而得出△BDH∽ADC，以及BD•CD=AD•DH，即可得出答案．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，根据已知得出△BDM∽△MDC，△BDH∽ADC进而得出比例式是解题关键．