Question

17．关于x的方程-x²+2（k-1）x-k²+1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为何值时，方程的两个实数根的平方和等于16？

Answer 1

分析 （1）由于关于x的方程-x²+2（k-1）x-k²+1=0有两个不相等的实数根，根据方程的判别式大于0，由此即可确定k的取值范围；
（2）首先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，然后把两个实数根的平方和变换两根之和与两根之积相关的形式，由此即可得到关于k的方程，解方程就可以求出k的值．

解答 解：（1）由题意得，△=（2（k-1））²-4（k²-1）=-8k+8＞0，
解得，k＜1，
故k的取值范围：k＜1；

（2）设方程的两根为x₁，x₂，
由x₁²+x₂²=（ x₁+x₂）²-2 x₁x₂=（2（k-1））²-2（k²-1）=2k²-8k+6=16，
解得，k=-1或5（舍去），
当k=-1时，方程的两个实数根的平方和等于16．

点评 此题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系，综合性比较强．第一小题通过利用一元二次方程根的情况与判别式△的关系得到关于k的不等式解决问题；第二小题通过利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程解决问题．