Question

11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点E，若AE=4，CE=8，AD=5，AC⊥BD，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 先由勾股定理求出DE，再证明△ADE∽△CBE，得出比例式求出BE，梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD，即可得出结果．

解答 解：∵AC⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{3}{BE}=\frac{4}{8}$，
解得：BE=6，
∴BD=6+3=9，AC=4+8=12，
∴梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×12×9=54．

点评 本题考查了梯形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式求出边长是解决问题的关键．