Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=4，BD⊥CD，E是BC的中点．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求BC的长；
（3）点P从点B出发沿B→C以每秒3个单位的速度向点C匀速运动，同时点Q从点E出发沿E→D以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（s），连接PQ．当t为何值时△PEQ为等腰三角形？

Answer 1

解：（1）设∠DBC=x，
∵AD∥BC，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=x，四边形ABCD为等腰梯形，∠BCD=2x，
又∵BD⊥CD，
∴x+2x=90°，即x=30°．
即∠DBC=30°．

（2）∵在Rt△BCD中，E是BC的中点，
∴DE=BE=CE
又∵∠C=60°，
∴△CDE为等边三角形．
∴DE=DC=4，即BC=2DE=8．

（3）若点P在BE上，∵∠PEQ=120°，
∴PE=QE；即4-3t=t，
解之t=1s；
若P在EC上，∵∠PEQ=60°，
∴PE=QE，
即3t-4=t，
解之t=2s．
∴当t=1s或t=2s时，△PEQ是等腰三角形．
分析：（1）由已知可以知道，四边形为ABCD为等腰梯形，可知两底角相等，及AB=DC=AD，且BD⊥CD，所以我们可用直角三角形两余角和为90度．
（2）由（1）知，BC=2CD，可知△CDE为等边三角形，即BC=2EC=2CD=8．
（3）根据题意，若△PEQ为等腰三角形，即EQ=EP，当P在点E的左边为一种情况；在右边为一种情况．由已知可列方程，解之即可得出t．
点评：本题主要考查了梯形，直角三角形，等边三角形及等腰三角形的性质的知识．