Question

如图，在Rt△ABC中，AC=BC，AC⊥BC，AE⊥BE，AE=

1

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BD．求证：BE平分∠ABC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长BC，AE交于点F，易证∠CBD=∠EAD，即可证明△ACF≌△BCD，可得AF=BC，即可证明BE垂直平分AF，根据等腰三角形底边三线合一性质即可解题．

解答：证明：延长BC，AE交于点F，

∵∠ADE=∠BDC，∠EAD+∠ADE=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠CBD=∠EAD，
∵在△ACF和△BCD中，

∠CBD=∠EAD BC=AC ∠BCD=∠ACF=90°

，
∴△ACF≌△BCD，（ASA）
∴AF=BC，
∵BC=2AF，
∴AE=EF，
∵BE⊥AF，
∴BE垂直平分AF，
∴AB=BF，
∵等腰△ABF中，E是AF中点，且BE⊥AF，
∴∠ABD=∠CBD，即BE平分∠ABC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考擦好了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证△ACF≌△BCD是解题的关键．