Question

（本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.

⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；

⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求

①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；

②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）x，D点

（2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x²

②分两种情况：Ⅰ.当2＜x＜3时，此时 y＝x²－（3x－6）²＝

Ⅱ.当3≤x≤6时，y＝（6－x）²＝

（3）当x＝时，y_max＝

【解析】（满分13分）

解：⑴；………………3分

⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x²；………………6分

②分两种情况：

Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，

△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，

∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.

由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，

所以，此时 y＝x²－（3x－6）²＝.………………9分

Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，

点E在线段BC上，点F在射线CH上，

△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，

∵EC＝6－x,

∴y＝（6－x）²＝.………………11分

⑶当0＜x≤2时，∵y＝x²在x＞0时，y随x增大而增大，

∴x＝2时，y_最大＝；

当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y_最大＝；

当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，

∴x＝3时，y_最大＝.………………12分

综上所述：当x＝时，y_最大＝.………………13分