Question

若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：.  我们把它们称为根与系数关系定理. 如果设二次函数的图象与x轴的两个交点为.利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

请你参考以上定理和结论，解答下列问题:

设二次函数的图象与x轴的两个交点为，抛物线的顶点为，显然为等腰三角形.

（1）当为等腰直角三角形时，求

（2）当为等边三角形时，求

 

Answer 1

【答案】

（1）4（2）12

【解析】⑴ 解：当为等腰直角三角形时，过作，垂足为，

　　　　　     　则                     ……2分 

　　　　　　∵抛物线与轴有两个交点，∴，

　　　　　　  ∴            ……4分 

　　　　　　∵

　　　　　　又∵，

　　　　　　∵，

　　　　　　∴        ……6分 

　　　　　　∴

　　　　　　∴

　　　　　　   ∴      ……9分 

 　　　　　　⑵当为等边三角形时，由（1）可知

            CD= AB……10分

            ∴  ……11分

            ∴b²-4ac=12……12分

（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b²-4ac＞0；套用材料中的公式可求得线段AB的表达式，利用公式法可得到顶点C的纵坐标，进而求得斜边AB上的高（设为CD），若△ABC为等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根据这个等量关系求出b²-4ac的值．

（2）方法同（1），只不过AB、CD的等量关系为： AB=2CD．