Question

如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s．
（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x值；
（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01 km）．

Answer 1

分析：（1）由于三角形不一定为直角三角形，所以选择在两个三角形中用余弦定理来建立等式解答；
（2）作PD⊥a，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．

解答：解：（1）∵PA-PB=1.5×8=12（km），PC-PB=1.5×20=30（km）
∴PB=（x-12）km，PC=（18+x）km
在△PAB中，AB=20 km，cos∠PAB=

PA2+AB2-PB2

2PA•AB

=cos∠

x2+202-(x-12)2

2x•20

=

3x+32

5x

同理，在△PAC中，cos∠PAC=

72-x

3x

∵cos∠PAB=cos∠PAC
∴

3x+32

5x

=

72-x

3x

∴x=

132

7

（km）；

（2）作PD⊥a，垂足为D
在Rt△PDA中，PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB=x•

3x+32

5x

=

3× 132 7 +32

5

≈17.71（km）
答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km．

点评：解答此题，在非直角三角形中可以选择用余弦定理解答．勾股定理可以认为是当夹角为90°时的余弦定理．