Question

已知如图△ABC和△DCE都为等边三角形，AE交CD于点N，BD交AC于点M．
①求证：AE=BD．
②连接MN，图中还有等边三角形吗？如有，请证明．

Answer 1

①证明：∵△ABC和△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠ACD+∠ACB，∠BCD=∠DCE+∠DCA，
∴∠ACE=∠BCD，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；

②解：△NCM是等边三角形．
证明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠MDC=∠CEN，
∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠MCD=60°，
∵CD=CE，
∴△DCM≌△ECN（ASA）
∵△DCM≌△ECN，
∴CM=CN，
又∵∠MCD=60°，
∴△NCM是等边三角形．
分析：①根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60°的性质可求得△BCD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE=BD；
②根据全等三角形全等的判定可证得△DCM≌△ECN，即可得CM=CN，又∠MCN=60°，所以可判定△NCM是等边三角形．
点评：本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形各内角为60°、各边长相等的性质，本题中求证△BCD≌△ACE是解题的关键．