Question

已知二次函数的图象与X轴的交点为A、B（点B在点A的右边），与y轴的交点为C．
（1）若△ABC为Rt△，求m的值；
（2）在△ABC中；若AC=BC，求∠ACB的正弦值；
（3）设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值．

Answer 1

解：设k=m²-4m+，
则k+2=m²-4m+，k=（m-2）²-≥-，
∴y=x²-kx-2（k+2）=（x+2）（x-k-2），
∴抛物线与x轴的两个交点为（-2，0），（k+2，0），
∵k≥-，k+2≥＞-2，
∴A（-2，0），B（k+2，0），C（0，-2k-4），
∴OA=2，OB=k+2，OC=2k+4，

（1）由于A、B位于原点两侧，若△ABC为Rt△，且OC⊥AB，则有：
OC²=OA•OB，
即：（2k+4）²=2（k+2），
解得k=-，
∴m²-4m+=-，
即m²-4m+4=0，
解得m=2；

（2）若AC=BC，则△ABC是等腰三角形，由于OC⊥AB，则OA=OB，
抛物线的对称轴与y轴重合，此时k=0，B（2，0），C（0，-4），
∴AC²=BC²=20；
∵S_△ABC=AC•sinACB•BC=AB•OC，
∴sin∠ACB===；

（3）∵S=AB•OC=（k+4）（2k+4）=（k+4）（k+2）=k²+6k+8=（k+3）²-1，
∴当k＞-3时，S随k的增大而增大，
由于k≥-，∴当k=-时，S取最小值，
∴m²-4m+=-，即m=2时，S取最小值，且最小值为S=（3-）²-1=．
分析：（1）令抛物线的解析式中y=0，可求出A、B点的坐标；若△ABC为直角三角形，则∠ACB必为直角，根据射影定理，即可求出m的值；
（2）若AC=BC，则O是AB的中点，由此可确定A、B、C的坐标，进而可根据△ABC面积的不同表示方法求出∠ACB的正弦值；
（3）根据A、B、C三点的坐标，可求出关于S、m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出S的最小值．
点评：此题是典型的二次函数综合题；需要注意的几点是：
①由于m的表达式较大，且含有二次项，若不用k来设m的表达式，本题的计算量将会很大；
②在（2）题中，若不能联想到三角形面积的另一种计算方法：S=ab•sinC，解题过程将会很复杂；
③在（3）题中，一定要注意k的取值范围，以免造成错解．