Question

如图，已知AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BD平分△ABC的外角∠ABF交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）判断DE和⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A=30°，AB=4cm，求DE的长．

Answer 1

解：（1）DE与圆O相切，理由为：
证明：连接OD，
∵BD平分∠ABF，
∴∠OBD=∠DBE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠DBE=∠ODB，
∴OD∥CE，又CE⊥DE，
∴OD⊥DE，
则DE为圆O的切线；
（2）∵AB为圆O的直径，
∴∠C=90°，
又∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵OD∥CE，
∴∠BOD=∠ABC=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，即OB=OD=BD=2cm，
∴∠ODB=60°，∠BDE=30°，
在Rt△BDE中，BD=2cm，∠BDE=30°，
则DE=BDcos30°=2×=．
分析：（1）DE与圆O相切，理由为：连接OD，由BD为角平分线，得到一对角相等，再由OB=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与CE平行，而CE与DE垂直，可得出OD与DE垂直，即可确定出DE为圆O的切线；
（2）由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠C为直角，再由∠A的度数，求出∠ABC的度数，利用两直线平行内错角相等求出∠BOD为60°，确定出三角形OBD为等边三角形，求出∠BDO为60°，得到∠BDE为30°，在直角三角形BDE中，由BD=2cm，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值即可求出DE的长．
点评：此题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，其中切线的判定方法有两种：有点连接证明垂直；无点连接证明垂线段等于圆的半径．