Question

14．“半角型”问题探究：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：EF=BE+DF
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
归纳应用
（3）正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°，已知BE=3，DF=2，求正方形ABCD的边长．
拓展提高
（4）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF=1，O为EF的中点，动点G、H分别在边AD、BC上，EF与GH的交点P在O、F之间（与0、F不重合），且∠GPE=45°，设AG=m，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（3）延长DC，截取CG=AE，连接BG，根据SAS定理可得出△AEB≌△CGB，故可得出BE=BG，∠ABE=∠CBG，再由∠EBF=45°，∠ABC=90°可得出∠ABE+∠CBF=45°，故∠CBF+∠CBG=45°，由SAS定理可得△EBF≌△GBF，故EF=GF，故△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD，由此可得出结论；
（4）①假设P与O重合，如图4，由O为EF的中点，得到O为正方形ABCD的对称中心，过A作AN∥EF交CD于N，则NF=AE=1，求得DN=CN=2，过O作G′H′∥GH交AD于G′，交BC于H′，于是得到AG′=CH′，DG′=BH′，过A作AM∥G′H′交BC于M，于是得到AG′=MH′，∠MAN=45°，延长CD到Q，使DQ=BM′，由（3）知MN=NQ，设BM=a，则CM=4-a，MN=QN=a+2，根据勾股定理得到AG′=$\frac{4}{3}$；②当H与C重合时，如图5，由①知BM=$\frac{4}{3}$，得到AG″=CM=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$；于是得到结论．

解答 （1）解：如图1，
在△ABE和△ADG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF；

（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；

（3）解：如图3，延长CD到点G，截取DG=BE，连接AG，
在△AEB与△AGD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠B=∠ADG=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴AE=GG，∠BAE=∠GAD，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAF+∠DAG=45°．
在△EAF与△GAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF=BE+DF=5，
设正方形ABCD的边长=x，
∴CE=x-3，CF=x-2，
∵EF²=CE²+CF²，
∴25=（x-3）²+（x-2）²，
∴x=6，x=-1（不合题意，舍去），
∴正方形ABCD的边长是6；

（4）①假设P与O重合，如图4，∵O为EF的中点，
∴O为正方形ABCD的对称中心，
过A作AN∥EF交CD于N，
则NF=AE=1，
∴DN=CN=2，
过O作G′H′∥GH交AD于G′，交BC于H′，
∴AG′=CH′，DG′=BH′，
过A作AM∥G′H′交BC于M，
∴AG′=MH′，∠G′OE=45°，
∴∠MAN=45°，
延长CD到Q，使DQ=BM′，
由（3）知MN=NQ，
设BM=a，则CM=4-a，MN=QN=a+2，
∵MN²=CM²+CN²，
∴（2+a）²=（4-a）²+2²，
解得：a=$\frac{4}{3}$，
∴AG′=$\frac{4}{3}$；
②当H与C重合时，如图5，
由①知BM=$\frac{4}{3}$，
∴AG″=CM=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$；
∴m的取值范围为：$\frac{4}{3}$＜m≤$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．