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已知二次函数的图像经过点A(6,0)、B(-2,0)和点C(0,-8)
(1)求该二次函数的解析式;
(2)设该二次函数图象的顶点为M,若点K为x轴上的动点,当△KCM的周长最小时,求K的坐标;
(3)连接AC,有两动点P、Q同时从点O出发,其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线按O-A-C的路线运动,点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线按O-C-A的路线运动,当P、Q两点相遇时它们都停止运动,设P、Q同时从点O出发t秒时,△OPQ的面积为S;
①请问P、Q两点在运动过程中,是否存在PQ∥OC?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由;
② 请求出S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;

备用图
 

  

 

(1)二次函数的解析式为y= x2x﹣8;
(2)点K的坐标为(,0);
(3) ①不存在PQ∥OC,理由见解析;
②分情况讨论如下,
当0≤t≤1时,S=12t2
当1<t≤2时,S=﹣+
当2<t<时,S=-.

解析试题分析:(1)由待定系数法即可得到;
由于CM的长度是定值,因此要想△KCM的周长最小,只需KM+KC的值最小即可,因此要找到点C关于X轴的对称点C‘,连接MC’,则MC‘与X轴的交点即为所求;
①可假设PQ∥OC,此时,1<t <2,则可得△APQ∽△AOC,由相似推得t=与1<t <2矛盾,从而确定不存在PQ∥OC
②分0≤t≤1、1<t≤2、2<t<三种情况进行求解.
试题解析:(1)设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x﹣6)(a≠0),
∵图象过点(0,﹣8),
∴a=.
∴二次函数的解析式为y= x2x﹣8;
(2)∵y = x2 x﹣8=(x2﹣4x+4﹣4)﹣8=(x﹣2)2,
∴点M的坐标为(2,﹣).
∵点C的坐标为(0,﹣8),
∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为(0,8).
∴直线C′M的解析式为:y=﹣ x+8
令y=0
得﹣x+8=0
解得:x=
∴点K的坐标为(,0);
(3) ①不存在PQ∥OC,
若PQ∥OC,则点P,Q分别在线段OA,CA上,
此时,1<t <2
∵PQ∥OC,
∴△APQ∽△AOC

∵AP=6﹣3t
AQ=18﹣8t,

∴t=
∵t=>2不满足1<t<2;
∴不存在PQ∥OC;
②分情况讨论如下,
当0≤t≤1时
S=OP•OQ=×3t×8t=12t2
当1<t≤2时
作QE⊥OA,垂足为E,
S=OP•EQ=×3t×=﹣+
当2<t<
作OF⊥AC,垂足为F,则OF=
S=QP•OF=×(24﹣11t)×=-.

考点:1、待定系数法;2、反证法;3、线段的性质;4、分类讨论.

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