Question

如图，△OAB，△OBC，△OCD，△ODE都是等腰直角三角形，且∠BAO，∠OBC，∠OCD，∠ODE都是直角，设OA=1
（1）BC=______，CD=______，DE=______；
（2）连续做n个等腰直角三角形，则第n个等腰直角三角形斜边长为______；
（3）连接AC，CE，请判断△ABC与△CDE是否相似，并说明理由；
（4）按内角分，△ACE是哪种类型的三角形？

Answer 1

解：（1）BC=BO==，CD=CO==2，DE=DO==2；

（2）根据（1）中的数据即可看出规律：第n个等腰直角三角形斜边长为；

（3）相似，
∵△OAB，△OBC，△OCD，△ODE都是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠CDO=45°，∠CBO=ODE=90°，
∴∠CDB=∠ABC=135°，
∵AB=1，CD=2，CB=，DE=2，
∴=，
∴△ABC∽△CDE；

（4）△ACE是直角三角形，
∵△ABC∽△CDE；
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠2=180°-∠ABC=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∵∠BCD=∠DCO+∠BCO=90°+45°=135°，
∴∠ACE=90°，
故△ACE是直角三角形．
分析：（1）利用勾股定理可以求出BC，CD，DE的长；
（2）根据（1）中的数据即可看出规律：第一个是，第二个是；，第三个是，由此可知，第n个等腰直角三角形斜边长为；
（3）首先求出∠CDB=∠ABC=135°，再求出=，即可证出结论；
（4）首先根据相似求出∠2=∠3，再求出∠1+∠3的度数，即可判定△ACE是直角三角形．
点评：此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定以及性质，关键是熟练掌握勾股定理，及相似三角形的判定方法，此题是一个综合型题目，难度不大，较好．