Question

如图，已知点P是抛物线y=

1

4

x2+1上的任意一点，记点P到X轴距离为d₁，点P与点F（0，2）的距离为d₂
（1）证明d₁=d₂；
（2）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点），试判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据解析式用1个未知数t表示出P的坐标，进而表示出P到x轴与到点F的距离，化简可出两者大小相等；
（2）由（1）的结论，找PQ的中点到x轴的距离与PQ的大小关系，容易证得两者相等；故以PQ为直径的圆与x轴相切．

解答：解：（1）设P为抛物线上一点，
故P的坐标为（t，

1

4

t²+1）；
则P到X轴距离d₁=

1

4

t²+1，
P到点F（0，2）的距离为d₂为

t2+( 1 4 t2-1)2

；
化简可得d₁=d₂．

（2）相切：
设Q到x轴的距离为m，到F的距离为n，
根据（1）的结论，有m=n，
过PQ的中点作x的垂线，设其长度为h，
易得h=

1

2

（m+d₁），
同时有PQ=（n+d₂）=（m+d₁），
为h的2倍，
故以PQ为直径的圆与x轴相切．

点评：本题二次函数的性质与运用．