Question

6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，点E是BD的中点，CE的延长线交边AB于点F，且∠CED=∠A．
（1）求证：AC=AF；
（2）在边AB的下方画∠GBA=∠CED，交CF的延长线于点G，联结DG，在图中画出图形，并证明四边形CDGB是矩形．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠CDE=∠ECD，∠CDE=∠AFC即可解决问题．
（2）只要证明CG=BD，CE=EG，DE=EB即可．

解答 （1）证明：∵∠BCD=90°，DE=EB，
∴EC=ED=EB，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠A+∠DCE+∠AFC=180°，
又∵∠CED=∠A，
∴∠CDE=∠AFC，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AC=AF．

（2）解：图象如图所示．

∵∠CED=∠ABG，∠CED=∠A，
∴∠A=∠ABG，
∴AC∥BG，
∴∠ECD=∠BGE，
在△CED和△GEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠BGE}\\{∠CED=∠GEB}\\{DE=EB}\end{array}\right.$，
∴△CED≌△GEB，
∴CE=EG，
∴CE=DE=EB，
∴CG=BD，CE=EG，DE=EB，
∴四边形CDGB是平行四边形，∵BD=CG，
∴四边形CDGB是矩形．

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．