Question

已知：如图，四边形ABCD中，BC=CD=DB，∠ADB=90°，sin∠ABD=，S_△BCD=．求四边形ABCD的周长．

Answer 1

解：过C作CE⊥BD于E．
∵∠ADB=90°，sin∠ABD=，
∴AD=4x，AB=5x．
∴DB=3x
∵BC=CD=DB，
∴DE=x，∠CDB=60°．
∴tan∠CDB=
∴CE=．
∵S_△BCD=9，
∴•BD•CE=9，
∴x=2，
∴AD=8，AB=10，CD=CB=6．
∴四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+CB=30．
分析：先过C作CE⊥BD于E，根据已知条件和直角三角形的性质得出AD=4x，AB=5x，DB=3x，再根据BC=CD=DB，得出tan∠CDB=，即可求出CE的值，最后根据S_△BCD=9，解出x得值，从而得出AD，AB，CD，CB的值，即可得出四边形ABCD的周长．
点评：此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、特殊角的三角函数值、等边三角形的性质和周长公式等，是一道基础题，关键是画出图形．