Question

11．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，且OA和OC的长分别是方程x²+bx+c=0的两个根
（1）求b，c的值
（2）过点B作另一条直线交x轴于点D，使BD平分∠ABC，求直线BD的解析式；
（3）在直线BD上是否存在一点M，过点M作MN∥BC交y轴于点N，使以M，N，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数的对应关系，可得A、B点坐标，根据互相垂直的两直线中一次项系数的乘积为-1，可得BC的解析式，根据函数值为零，可得C点坐标，根据根与系数的关系，可得答案；
（2）根据角平分线分对边所得的线段与三角形的另外两边成比例，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（3）分类讨论：①M₁N₁CB是平行四边形，根据平行线的一次项系数相等，可得CN的解析式，MN的解析式，根据M点的坐标满足MN的解析式，可得M点的坐标；②当M₂N₂BC是平行四边形，根据MB∥y轴，可得M点的横坐标，把M点的横坐标代入BD的解析式，可得答案．

解答 解：（1）当y=0时，$\frac{1}{2}$x+6=0，解得x=-12，即A（-12，0），
当x=0时，y=6，即B（0，6）．
过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，得
BC的解析式为y=-2x+6，
当y=0时，-2x+6=0，解得x=3，即C（3，0），
OA的长为12，OB的长为3．
OA和OC的长分别是方程x²+bx+c=0的两个根，得
-b=12+3，b=-15，c=12×3=36，
b=-15，c=36；
（2）设D（a，0），由线段的和差，得
AD=（a+12），BD=（3-a），
由勾股定理，得
AB=$\sqrt{（-12）^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
由BD平分∠ABC，得
$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{a+12}{3-a}$=$\frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$=2，
解得a=2，即D（-2，0），
设BD的解析式为y=kx+b，
将B、D点坐标代入解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
BD的解析式为y=3x+6；
（3）设M（a，3a+6），如图1：

①当M₁N₁CB是平行四边形时，N₁C∥BD，M₁N₁∥BC，设CN₁的解析式为y=3x+b，
将C（3，0）代入函数解析式，得3×3+b=0，解得b=-9，即N₁（0，-9），
M₁N₁的解析式为y=-2x-9，将M（a，3a+6）代入函数解析式，得
-2a-9=3a+6，
解得a=-3，3a+6=-3，即M₁（-3，-3）；
如图2：

②当M₂N₂BC是平行四边形时，M₂C∥y轴，
M₂的横坐标与C点的横坐标相等，
把x=3代入BD的解析式，得y=3×3+6=15，
即M₂（3，15）．
综上所述：在直线BD上存在一点M，过点M作MN∥BC交y轴于点N，使以M，N，B，C为顶点的四边形是平行四边形，M₁（-3，-3），M₂（3，15）．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用了函数与自变量的对应关系，得出A、B、C的坐标，利用了根与系数的关系，角平分线的性质，平行线的性质：平行线的一次项的系数相等，运用知识点较多，综合性较强，题目有一定难度．