Question

如图，将一块腰长为

5

的等腰直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角顶点C的坐标为（-2，0），点B在第二象限．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）将△ABC沿x轴正方向平移后得到△A′B′C′，点A′，B′恰好落在反比例函数y=

k

x

的图象上，求平移的距离和反比例函数的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）过B点作BH⊥x轴于H，在Rt△AOC中，根据勾股定理得到OA=1，则A点坐标为（0，1）；在根据等腰直角三角形的性质得CB=CA，∠ACB=90°，则可利用等角的余角相等得∠ACO=∠HBC，于是可根据“AAS”判断△BCH≌△CAO，所以CH=OA=1，BH=OC=2，OH=HC+OC=3，由此得到B点为（-3，2）；
（2）设将△ABC沿x轴正方向平移a个单位后得到△A′B′C′，根据平移的性质得B′的坐标为（-3+a，2），C′点的坐标为（a，1），由于点A′，B′恰好落在反比例函数y=

k

x

的图象上，则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2×（-3+a）=1×a，解得a=6，所以k=6，于是得到反比例函数的解析式为y=

6

x

．

解答：解：（1）过B点作BH⊥x轴于H，如图，
∵C的坐标为（-2，0），
∴OC=2，
在Rt△AOC中，AC=

5

，
∴OA=

AC2-OC2

=1，
∴A点坐标为（0，1）；
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠ACB=90°，
∴∠BCH+∠ACO=90°，
而∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠ACO=∠HBC，
在△BCH和△CAO中，

∠BHC=∠COA ∠HCB=∠OCA BC=CA

，
∴△BCH≌△CAO（AAS），
∴CH=OA=1，BH=OC=2，
∴OH=HC+OC=3，
∴B点为（-3，2）；
（2）设将△ABC沿x轴正方向平移a个单位后得到△A′B′C′，则B′的坐标为（-3+a，2），C′点的坐标为（a，1），
∵点A′，B′恰好落在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴2×（-3+a）=1×a，解得a=6，
∴k=1×6=6，
∴反比例函数的解析式为y=

6

x

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和平移的性质；会运用全等三角形的判定与性质解决线段相等的问题，利用勾股定理计算线段的长．