Question

如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8．
（1）当∠AFB=60°时，△ABF沿着直线AF折叠，折叠后，落在平面内G点处，求G点的坐标．
（2）当F运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小为多少？
（3）当△AEF的面积最小时，直线EF与y轴相交于点M，P点在x轴上，⊙P与直线EF相切于点M，求P点的坐标．

Answer 1

解：（1）如图，过点G分别作GN⊥x轴于点N，作GH⊥y于点H，
如图△ABF沿直线AF折叠后得△AGF，
则△AGF≌△ABF，
因为∠AFB=∠AFG=60°，
所以∠BAF=∠FAG=∠OAG=30°
在直角三角形AGH中，GH=AG=×AB=×16=8，
AH=AGsin60°=16×=8
即OH=8-12，
因此G（8，12-8）．

（2）在矩形ABCD中，B（16，12），EC+CF=8；
则AB=OC=16，BC=OA=12；
设CF=x，则EC=8-x；
S_△AEF=S_□ABCO-S_△AOE-S_△ABF-S_△ECF=OA×OC-×OE×OA-×AB×BF-×CE×CF，
=12×16-×[16-（8-x）]×12-×16×（12-x）-×x×（8-x），
=x²-2x+48，
=（x-2）²+46；
因此，当x=2时，S_△AEF取得最小值46．
故当F运动到CF为2时，△AEF的面积最小，最小为46．

（3）由（2）得F（16，2），E（10，0），
设直线EF：y=kx+b，
∴，
∴，
∴y=x-，
∴M（0，-），
连接PM，
∵⊙P与直线EF相切于点M，
∴PM⊥ME，
∴∠PMO+∠OME=90°，
∠MPO+∠PMO=90°，
∴∠MPO=∠OME，
∵∠POM=∠MOE=90°，
∴△MOE∽△POM，
∴=，
∴OM²=OP•OE，
∴OP=，
∴P点的坐标为：P（-，0）．
分析：（1）首先过点G分别作GN⊥x轴于点N，作GH⊥y于点H，得出AH=AGsin60°以及GH=AG分别求出即可．
（2）此题只需设得CF的长为x，F在BC上运动，0≤x≤8，又EC+CF=8，则EC=8-x；再由面积切割法表示出△AEF的面积关于x的函数并求得最值即可．
（3）首先求出直线EF的解析式，即可得出M的坐标，进而得出△MOE∽△POM，即可得出OP的长，得出P点坐标即可．
点评：此题主要考查了翻折变换以及二次函数的最值问题以及相似三角形的判定与性质、切线的性质等知识，根据已知得出正确图形是初中阶段难点同学们应重点掌握．