Question

（2011•潍坊）如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．
（1）求证：△ABC∽△OFB；
（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．

Answer 1

证明：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC，
又OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠BAC=∠FOB，
∵BN是半圆的切线，
∴∠BCA=∠FBO=90°，
∴△ACB∽△OBF．
解：（2）由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO，
∴AD=1，
又DPQ是半圆O的切线，
∴OP=1，且OP⊥DP，
∴DQ∥AB，
∴BQ=AD=1
（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，
∴=，
∴BF=，
∵DPQ是半圆O的切线，
∴AD=DP，QB=BQ，
过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在直角三角形DQK中，
DQ²=QK²+DK²，
∴（AD+BQ）²=（AD﹣BQ）²+2²．
∴BQ=，
∴BF=2BQ，
∴Q为BF的中点．

略