Question

将连续自然数1，2，3，…，n（n≥3）的排列顺序打乱，重新排列成a₁，a₂，a₃，…，a_n．若（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）恰为奇数，则（　　）

A、一定是偶数

B、一定是奇数

C、可能是奇数，也可能是偶数

D、一定是2^m-1（m是奇数）

Answer 1

分析：从n可能是奇数或偶数进行讨论，得出（a₁-1）（a ₂-2）（a₃-3）…（a _n-n）是奇数或偶数，从而确定答案．

解答：解：如果n是偶数的话，
在1～n这个数列中偶数的个数和奇数的个数相等，
要保证（a₁-1）（a ₂-2）（a₃-3）…（a _n-n）是奇数，则须保证每一项都为奇数．
因为a ₁～～a _n中奇数偶数都相等，
所以完全可能找出一队序列1～～n 使（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）每一项都是奇数，
 如果n是奇数的话，在1～n这个数列中偶数的个数比奇数的个数少一个，
要保证（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）是奇数，则须保证每一项都为奇数．
因为a ₁～～a _n中奇数比偶数多一个，一定会在（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）中有一个偶数，
因此（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）必为偶数，
所以n必为偶数．
故选A．

点评：此题主要考查了整数的奇偶性问题，对n的奇偶性进行讨论是解决问题的关键．