Question

13．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，易证∠A=∠D=30°，由于OA=OC，所以∠ACO=∠A=30°，从而可知∠OCD=90°，即OC⊥CD．
（2）分别求出扇形BOC与直角三角形OCD的面积即可求出阴影部分面积．

解答 解：连接OC，
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COD=60°
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°
∴OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线；

（2）由（1）可知：∠COD=60°，
∴S_扇形BOC=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8π}{3}$
在Rt△OCD中，
tan60°=$\frac{CD}{OC}$
∴CD=4$\sqrt{3}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC×CD=8$\sqrt{3}$，
∴阴影部分面积为：8$\sqrt{3}$-$\frac{8π}{3}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定，扇形的面积公式，锐角三角函数等知识，综合程度较高，属于中等题型．