Question

9．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF分别与AB、AD的延长线交于点M、N，∠EAF=∠CEF=45°．点G在边AB的延长线上，将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°后能与△AGH重合，连接EH．
（1）求证：EH=EF；
（2）求证：EF²=2BE²+2DF²．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可知AF=AH，由旋转角为90°，∠EAF=45°可证明∠AHE=∠FAE，依据SAS可证明△AEH≌△AEF，故此可得到EH=EF；
（2）连接MH，先证明△HMG和△BEM均为等腰直角三角形，故此可得到HM²=2HD²，ME²=2BE²，在Rt△HME中，依据勾股定理可得到HE、BE、HG之间的，最后通过等量代换可得到问题的答案．

解答 解：（1）由旋转的性质可知AH=AF．
∵∠FAH=90°，∠FAE=45°，
∴∠HAE=∠FAE．
在△HAE和△FAE中$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠HAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△AEF，
∴EH=EF．

（2）如图所示：连接HM．

∵∠FEC=45°，EC∥AN，∠BEM=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，∠DNF=∠DFN=45°，
∴BE=BM，∠ANM=∠AMN=45°．
∴ME=$\sqrt{2}$BE，AM=AN，DF=DN
∵△AEH≌△AEF，
∴HG=DF．
由旋转的性质可知：AG=AD，
∴AD=AG．
∴GM=DN=DF=HG．
∴MH=$\sqrt{2}$DF，∠GMH=45°．
∴∠HME=90°．
∴EH²=MH²+ME²，
∴HE²=（$\sqrt{2}$DF）²+（$\sqrt{2}$BE）²．
∵HE=EF，
∴EF²=2BE²+2DF²．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，证得△HMG和△BEM均为等腰直角三角形是解题的关键．