Question

在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=60°，∠OAB=90°，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF，DE在x轴上（如图（1）），如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止．
（1）设△DEF运动时间为t，△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（2）探究：在△DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据F与B重合前后及E与A重合前后，分三种情况求S关于t的函数关系式；
（2）依题意得D（4-t，0），求出直线OC解析式，根据DF∥OC确定直线DF解析式，再由△OAG的面积与梯形OABC的面积相等，求出G点纵坐标，根据G点在抛物线上求G点横坐标，代入直线DF解析式求t，判断是否符号t的取值范围即可．

解答：解：（1）依题意得OA=5，
当0≤t＜1时，s=

3

2

t²，
当1≤t＜2时，s=

3

-

3

2

（2-t）²=-

3

2

t²+2

3

t-

3

，
当2≤t≤5时，s=

3

；

（2）存在．
依题意，得C（1，

3

），B（5，

3

），抛物线对称轴为x=3，
抛物线与x轴两交点坐标为O（0，0），（6，0），
设抛物线解析式为y=ax（x-6），
将C点坐标代入，得a=-

3

5

，∴y=-

3

5

x（x-6）=-

3

5

x²+

6 3

5

x，
由C点坐标可知，直线OC解析式为y=

3

x，
∵DF∥OC，
∴设直线DF解析式为y=

3

x+k，
将D（5-t，0）代入得k=

3

（t-5），
∴直线DF：y=

3

x+

3

（t-5），
设△OAG的OA边上高为h，由S_△OAG=S_梯形OABC，得

1

2

×5×h=

1

2

×（4+5）×

3

，
解得h=

9 3

5

，
将y=

9 3

5

代入y=-

3

5

x（x-6）中，得x=3，
∴G（3，

9 3

5

），
代入直线DF：y=

3

x+

3

（t-5）中，得t=3.8，
∵0≤t≤5，
∴存在，t=3.8．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据直角梯形的特点求顶点坐标，确定抛物线解析式，根据面积关系，列方程求解．