Question

在平面直角坐标系中，函数y=（m＞0）的图象经过点A（1，4）、B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C；过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连接AB、AD、BC、CD．
（1）求m的值；
（2）求证：CD∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

Answer 1

（1）解：∵函数y=（m＞0）的图象经过点A（1，4），
∴代入求出：m=4；

（2）证明：由题意得：B、C（1，0）、D（0，）、M（1，）
∴DM=1，MB=a-1，AM=4-，MC=
∴，
∴
∵∠DMC=∠BMA
∴△CDM∽△ABM，
∴∠DCA=∠BAC
∴CD∥AB；

（3）解：设直线AB的函数解析式为y=kx+b
∵CD∥AB，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形或等腰梯形
情况1：四边形ABCD为平行四边形
则DM=MB
∴a-1=1，a=2
∴B（2，2），
∵A（1，4）、B（2，2）在直线AB上，
把点A（1，4）、B（2，2）分别代入y=kx+b中
，
解得：
则直线解析式为：y=-2x+6，
情况2：四边形ABCD为等腰梯形
则AC=BD
∴a=4，
∴B（4，1），
∵A（1，4）、B（4，1）在直线AB上，
把点A（1，4）、B（4，1）分别代入y=kx+b中
，
解得：
则直线解析式为：y=-x+5
综上所述，直线AB的函数解析式为y=-2x+6或y=-x+5．
分析：（1）根据函数y=（m＞0）的图象经过点A（1，4），代入求出即可；
（2）根据解析式得出B、C、D、M的坐标，然后分别表示出线段DM，MB，AM，MC的长，可求出△CDM∽△ABM进而得出CD∥AB；
（3）根据四边形ABCD为平行四边形以及四边形ABCD为等腰梯形分别得出即可．
点评：此题主要考查了反比例函数的性质以及平行四边形的性质和等腰梯形的性质、相似三角形的判定，此题综合性较强是中考中重点题型，特别注意相似三角形的应用是考查重点．