Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接AD、BC、OC，且OC=5．
（1）若，求CD的长；
（2）若∠OCD=4∠BCD，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．

Answer 1

解：（1）∵⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，
∴CE=DE
设EB=3x，则BC=5x，
∴CE=4x，
在直角三角形OCE中，
OC²=CE²+OE²，
5²=（4x）²+（5-3x）²，
解得x=0或x=1.2，
∴CE=4x=4.8，
∴CD=2CE=9.6；

（2）∵AB⊥CD，
∴
∴∠COB=2∠BCD
∵∠OCD=4∠BCD，∠OBC=∠OCB，∠OCB+∠OBC+COB=180°，
∴∠BCD=15°，
∴∠OBC=75°，
∴∠BOC=30°，
∴∠AOC=150°
∴S==．
分析：（1）由垂径定理可得CE=DE，在直角三角形OCE中，利用勾股定理可得CE的长，乘以2即为CD的长；
（2）算出∠COB的度数，也就求得了阴影部分的圆心角，利用扇形的面积公式计算即可．
点评：综合考查了垂径定理的应用，扇形面积的计算；利用勾股定理及求得扇形的圆心角是解决本题的突破点．