Question

如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为16π，则弦AB的长为

1. A.
   4
2. B.
   6
3. C.
   8
4. D.
   10

Answer 1

C
分析：连接PC，由AB为圆P的切线，根据切线的性质得到PC与AB垂直，连接OA，过O作OD垂直于AB，由垂径定理得到D为AB的中点，由OD和PC都与AB垂直，得到OD与PC平行，由OP与AB平行，可得出四边形ODPC为平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得OD=PC，又阴影部分的面积用圆O的面积减去圆P的面积，表示出阴影部分的面积，在直角三角形AOD中，利用勾股定理表示出三边的关系，变形后代入表示出的阴影部分面积，再根据阴影部分的面积可得出AD的长，进而确定出AB的长．
解答：连接PC，可得PC⊥AB，再连接OA，过O作OD⊥AB，交AB于点D，如图所示：

∵PC⊥AB，OD⊥AB，
∴∠ODC=∠PCB=90°，
∴PC∥OD，又AB∥OP，
∴四边形OPCD为平行四边形，
∴PC=OD，
又∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD=BD=AB，
∵在Rt△OAD中，根据勾股定理得：OA²=OD²+AD²，即OA²-OD²=AD²，
且S_阴影=16π，
∴S_阴影=π•OA²-πPC²=π•OA²-πOD²=π（OA²-OD²）=πAD²=16π，
∴AD²=16，即AD=4，
则AB=2AD=8．
故选C
点评：此题考查了切线的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，以及阴影部分面积的求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．