Question

已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．
运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；
运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；
运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．
设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，
解答下列问题
（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时______s；
（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm²），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意得，
运动一：
∵△DEF是等腰三角形，∠ACB=90°，EF=8cm，
∴EC=4cm，
∴运动一所用时间为：4÷1=4（秒），
运动二：
∵当QC⊥DF时暂停旋转，
∵CD=CF，
∴DQ=QF=2cm
∴运动二所用时间为：2=2（秒），
运动三：
∵CF=4cm，
∴运动三所用的时间为：4÷1=4（秒），
∴整个过程共耗时4+2+4=10（秒）；
故答案为：10；

（2）运动一：如图2，
设EC为tcm，则CQ为tcm，
∴S_△ECQ=×t×t，
∴S与t之间的函数关系式为：y=t²（0≤t≤4），
运动二：如图3，
连接CD，在△ECP和△DCQ中，
∵
∴△ECP≌△DCQ（ASA），
∴S与t之间的函数关系式为：y=8（4＜t＜6），
运动三：如图4，
四边形QDPC为矩形，
∴CF=4-（t-6）=10-t，
EC=8-CF=t-2，
∴S_矩形QDPC=（t-2）×（10-t），
=t²+6t-10；
S与t之间的函数关系式为：y=t²+6t-10（6≤t≤10）；

（3）存在点Q，理由如下：
如图5，运动一：
∵点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，
∴AQ=QB，
∴AC-CQ=，
又∵AC=16cm，BC=12cm，
解得，CQ=3.5cm，
∵∠DEF=45°，
∴EC=3.5cm，
此时，t为：3.5÷1=3.5秒．
如图6，运动二：
同理：CQ=3.5，
过点C作CM⊥DF交DF于点M，CM=2，
在Rt△QCM中，QM==，
∴DQ=2-，
∴t=（2-）÷+4=6-；
运动三时，CQ最大为2＜3.5，
所以无解．
综上，t=3.5或6-时，点Q正好在线段AB的中垂线上．
分析：（1）运动一，停止时，EC=4cm，用时为：4÷1=4秒；运动二，停止时，DQ=2cm，用时为：2÷=2秒；运动三，点C与点F重合时，CF=4cm，用时为：4÷1=4秒；综上，总用时为：4+2+4=10（秒）；
（2）运动一，RT△ABC与RT△DEF的重叠部分为直角△QCE的面积，表示出即可；运动二，连接CD，可得∠E=∠CDQ，∠ECP=∠ECQ，EC=DC，所以△ECP≌△DCQ，RT△ABC与RT△DEF的重叠部分不变：y=8（4＜t＜6）；运动三，四边形QDPC为矩形，CF=4-（t-6）=10-t，EC=8-CF=t-2，所以，S_矩形QDPC=（t-2）×（10-t）=t²+6t-10；
（3）点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，可得AQ=QB，所以，AC-CQ=，又AC=16cm，BC=12cm，得，CQ=3.5cm，又由∠DEF=45°，所以，EC=3.5cm，解答出即可．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线、旋转、平移的性质等，要注意的是（2）中，要根据P点的不同位置进行分类求解；（3）中要确定点Q的位置，是解答的关键．