Question

如图，长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′处，A′B与y轴交于点F，且知OA=1，AB=2．
（1）分别求出OF的长度和点A′坐标；
（2）设过点B的双曲线为：y=（x＞0），则k=______；
（3）直线A′C交双曲线y=于点P，求△OBP的面积是多少？

Answer 1

解：（1）∵由折叠的性质可知，△OAB≌△OA′B，
∴OA′=OA=1，BA′=BA=2，
∴∠OBA=∠OBA′，∠OA′B=∠OAB=90°，
∵AB∥OC，
∴∠OBA=∠COB，
∴∠COB=∠OBA′，
∴FB=FO，
设FB=FO=x，则A′F=2-x，
在Rt△OA′F中，OA′²+A′F²=OF²，即1²+（2-x）²=x²，解得x=，
∴OF=，则A′F=，过点A′作A′E⊥OC于点E，
S_△OA′F=OA•A′F=OF•A′E=×1×=××A′E，解得，A′E=，
在Rt△OA′E中，OE²+A′E²=OA′²，即OE²+（）²=1²，
解得，OE=或OE=0（舍去），
∴A′（-，）；

（2）∵OA=1，AB=2，
∴B（1，2），
∴2=，即k=2
∴反比例函数的解析式为；y=；

（3）作直线A′C，
∵OC=BA，BA′=BA，
∴OC=BA′，
∵FB=FO，
∴FC=FA′，
∴∠FA′C=∠FCA′=，
同理，∠FOB=∠FBO=，
∴∠A′CF=∠FOB，
∴A′C∥OB，
∴△OPB的边OB上的高和△OBC的边OB上的高相等，
∴S_△OBP=S_△OBC=OB•OC=×1×2=1．
分析：（1）由图形折叠的性质可知△OAB≌△OA′B，根据全等三角形的性质可知OA′=OA，BA′=BA，∠OBA=∠OBA′，∠OA′B=∠OAB=90°，再由AB∥OC可知∠OBA=∠COB，∠COB=∠OBA′，故FB=FO，
设FB=FO=x，则A′F=2-x，在Rt△OA′F中，根据勾股定理可得出OF，A′F的长，过点A′作A′E⊥OC于点E，根据S_△OA′F=OA•A′F=OF•A′E可得出A′E的长，同理，在Rt△OA′E中根据勾股定理可得出OE的长，故可得出点A′的坐标；
（2）由OA=1，AB=2可得出B点坐标，把B点坐标代入反比例y=即可求出k的值，故可得出其解析式；
（3）作直线A′C，根据OC=BA，BA′=BA可知OC=BA′，再由FB=FO可知FC=FA′，由等腰三角形的性质可知∠FA′C=∠FCA′=，同理，∠FOB=∠FBO=，故∠A′CF=∠FOB，A′C∥OB，△OPB的边OB上的高和△OBC的边OB上的高相等，再根据S_△OBP=S_△OBC=OB•OC即可得出结论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式，图形反折变换的性质、等腰三角形的性质等知识，难度较大．