Question

如图1，已知抛物线y=ax²的顶点为P，A、B是抛物线上两点，AB∥x轴，△PAB是等边三角形．
（1）若点B的横坐标为，求点B、A的坐标及抛物线的函数表达式；
（2）①如图2，将（1）中抛物线进行平移，使点P的坐标变为（m，n），其他条件不变，请猜想△PAB的边长；
②若将抛物线“y=ax²”，改为抛物线“y=2x²-8x-2”，其他条件不变，求△PAB的边长；
（3）已知等边△MCD，CD∥x轴，抛物线l经过△MCD 的三个顶点，若点M的坐标为（m，n），△MCD的边长为2b，请直接写出抛物线l的函数表达式．（用含m、n、b的式子表示）

Answer 1

解：（1）∵△PAB是等边三角形，AB∥x轴，设AB交y轴于E，
∴△PEB是直角三角形，AE=BE=，∠PBE=60°，
∴∠BPE=30°，PB=2BE=2，PE=3，
∴点B的坐标（，3），点A的坐标（-，3），（2分）
∵点B在抛物线y=ax²上，
∴3=（）²a，解得：a=1，
∴抛物线的函数表达式为y=x²（4分）；

（2）①∵平移不改变图形的形状和大小，
∴△PAB的边长仍为2；（6分）
②方法一：平移抛物线y=2x²-8x-2，使P与O重合，得抛物线y=2x²，
设相应的等边三角形为A'B'O，B'点坐标为（k，k），
∴k=2k²，解得：k₁=0（舍去），k₂=，A'B'=2k=，
∵平移不改变图形的形状和大小，
∴△PAB的边长为；（11分）
方法二：y=2x²-8x-2可变形为y=2（x-2）²-10，
∴P点坐标为（2，-10），由△PAB是等边三角形，AB∥x轴，
∴设B点坐标为（2+k，-10+k），
∴-10+k=2（2+k）²-8×（2+k）-2，
解得：k₁=0（舍去），k₂=，AB=2k=，
∴△PAB的边长为；（11分）

（3）y=（x-m）²+n或y=-（x-m）²+n．（14分）
分析：（1）根据已知条件“△PAB是等边三角形，AB∥x轴，设AB交y轴于E”推知，△PEB是直角三角形，在直角三角形内根据点B的坐标求得AE=BE=；然后由等边三角形ABC的三个内角都是60°的性质求得∠PBE=60°，所以根据特殊角的三角函数求得点A的坐标（-，3）；最后由二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式；
（2）①根据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，来回答问题；
②第一种方法：平移抛物线y=2x²-8x-2，使P与O重合，得抛物线y=2x²，设相应的等边三角形为A'B'O，B'点坐标为（k，k），然后利用二次函数图象上坐标的特征求得关于k的一元二次方程，解方程即可（由平移不改变图形的形状和大小决定k值）；
第二种方法：y=2x²-8x-2可变形为y=2（x-2）²-10，从而求得点P的坐标；再由已知条件“△PAB是等边三角形，AB∥x轴”设B点坐标为（2+k，-10+k）；然后利用二次函数图象上坐标的特征求得关于k的一元二次方程，解方程即可（由平移不改变图形的形状和大小决定k值）；
（3）由（1）、（2）可以直接写出抛物线l的函数表达式．（用含m、n、b的式子表示）．
点评：本题考查了二次函数的综合题．其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．