Question

如图：已知，△ABC内接于⊙O，弦BC所对的劣弧为120°，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CE分别交AC于D，交AB于E，BD、CE相交于点F．
（1）求cot∠EFB的值；
（2）求证：EF=DF；
（3）当BF=3EF，且线段BF、CF的长是关于x的方程x²-（2m+6）x+2m²=0（m＞0）的两个实数根时，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）要求∠EFB的余切值，由于不存在直角三角形，我们可通过角的度数来求解，要求∠EFB的度数也就是求∠CFD的度数，根据圆周角定理等及三角形外角的性质可求得其度数，再根据三角函数即可求解；
（2）在BC上截取BM=BE，连接MF，则可证△BMF≌△BEF，得EF=MF，再证△CMF≌△CDF，进一步得MF=FD，所以EF=FD；
（3）过点M作MN∥EC交BD于点N，根据已知及相似三角形的判定得到△BNE∽△BCF，那么可通过得出的BF，CF，EF的关系结合BF+CF=2m+6，BF•CF=2m²，来求出m和EF的值，然后可过E作BF的垂线，根据勾股定理求出BE的长，进而根据三角形BEF和BDA相似得出AB的长．

解答：（1）解：∵劣弧BC的度数为120°
∴∠BAC=60°
∴∠ABC+∠ACB=120°
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB
∴∠CBD+∠ECB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=60°
∴∠CFD=60°
∴∠BFE=60°
∴cot∠BFE=cot60°=

3

3

；

（2）证明：在BC上截取BM=BE，连接MF
∵∠MBF=∠EBF，BF=BF
∴△BFM≌△BFE
∴MF=EF，∠BFM=∠BFE=60°
∴∠CFM=180-60-60=60°=∠CFD
∵CF=CF，∠MCF=∠DCF
∴△CMF≌△CDF
∴MF=EF
∴EF=DF；

（3）解：过E作EN∥MF，那么∠FEN=∠CFM=∠EFN=60°
∴△EFN是等边三角形
∴EF=EN=FN
∵BF=3FD=3EF
∴BN=2EF
∵∠ABD=∠CBD，∠BNE=∠BFC=180-60=120°
∴△BFC∽△BNE
∴BN：EN=BF：CF
即2EF：EF=BF：CF
∴BF=2CF=3EF
∴CF=

3

2

EF
设EF=2k，那么BF=6k，CF=3k，由题意可得：

6k+3k=2m+6 18k2=2m2

解得：k=2
∴BF=12，CF=6，EF=4
过E作EH⊥BD于H
∴EH=EF•sin60°=2

3

∴FH=2
∴BH=BF-2=10
直角三角形BEH中，根据勾股定理可得：BE=4

7

∵∠A=∠BFE=60°，∠FBE=∠ABD
∴△FBE∽△ABD
∴BE：BF=BD：AB
∵BE=4

7

，BF=12，BD=BF+FD=16
∴AB=

48 7

7

．

点评：本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识点，在（3）中准确的判断出BF，CF的关系是解题的关键．