Question

如图，在正方形ABCD的边BA的延长线上作等腰直角△AEF，连接DF，延长BE交DF于G．若FG=6，EG=2，则线段AG的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：

分析：根据正方形的性质可得AB=AD，等腰直角三角形的性质可得AE=AF，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADG，在BE上截取BH=DG，然后利用“边角边”证明△ABH和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AH，全等三角形对应角相等可得∠BAH=∠DAG，求出∠GAH=90°，再判断出△AGH是等腰直角三角形，然后求出FG=EH，再根据等腰直角三角形的性质可得AG=

2

2

GH．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在△ABE和△ADF中，

AB=AD ∠BAE=∠DAF=90° AE=AF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADG，
如图，在BE上截取BH=DG，
则EH=BE-BH=DF-DG=FG，
在△ABH和△ADG中，

AB=AD ∠ABE=∠ADG BH=DG

，
∴△ABH≌△ADG（SAS），
∴AG=AH，∠BAH=∠DAG，
∴∠GAH=∠DAG+∠DAH=∠BAH+∠DAH=∠BAD=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∵EH=FG=6，EG=2，
∴GH=6+2=8，
∴AG=

2

2

GH=

2

2

×8=4

2

．
故答案为：4

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形．