Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，△ACD和△BCE均为等边三角形．
（1）求证：△DAH∽△ECH；
（2）若AH：HB=1：4，求S_△DAH：S_△ECH．

Answer 1

解：（1）证明：∵△ACD和△BCE均为等边三角形，
∴AC=AD，BC=CE，∠DAC=∠BCE．
在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，
∴∠CAB+∠ACH=∠CAB+∠ABC=90°．
∴∠ACH=∠ABC．
同理∠CAB=∠HCB．
∴∠DAC+∠CAB=∠BCE+∠HCB，△ACH∽△CBH．
∴AH：CH=AC：BC=AD：CE，∠DAH=∠ECH．
∴△DAH∽△ECH．

（2）∵AH：HB=1：4，
∴HB=4AH．
∵△ACH∽△CBH，
∴CH²=AH•HB=4AH²
∵△DAH∽△ECH，
∴S_△DAH：S_△ECH．=AH²：CH²=1：4．
分析：（1）先证△ACH∽△CBH，得到，∠DAH=∠ECH从而推出△DAH∽△ECH；
（2）根据面积比等于相似比的平方进行求解．
点评：此题考查等边三角形的性质及相似三角形的判定和性质的理解及运用．