Question

如图,是圆的直径,为圆心,、是半圆的弦，且. 延长交圆的切线于点

(1) 判断直线是否为的切线，并说明理由；

(2) 如果，，求的长。

（3）将线段以直线为对称轴作对称线段,点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形

 

Answer 1

解：（1）直线为⊙O的切线 …………1分

证明：连结OD    ∵是圆的直径     ∴∠ADB=90°   …………2分

∴∠ADO+∠BDO=90°     又∵DO=BO       ∴∠BDO=∠PBD            

∵                ∴∠BDO=∠PDA     …………3分

∴∠ADO+∠PDA=90° 即PD⊥OD       …………4分

∵点D在⊙O上，

∴直线为⊙O的切线.            …………5分

（2）解：∵ BE是⊙O的切线      ∴∠EBA=90°

∵    ∴∠P=30°     …………6分

∵为⊙O的切线   ∴∠PDO=90°

在RT△PDO中，∠P=30°     ∴   解得OD=1   …………7分

∴         …………8分

∴PA=PO-AO=2-1=1                …………9分

（3）（方法一）证明：依题意得：∠ADF=∠PDA  ∠PAD=∠DAF

∵  ∠ADF=∠ABF

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF       …………10分

∵是圆的直径     ∴∠ADB=90° 

设∠PBD=，则∠DAF=∠PAD=，∠DBF=

∵四边形AFBD内接于⊙O   ∴∠DAF+∠DBF=180°

即    解得              

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°                …………11分

∵ BE、ED是⊙O的切线      ∴DE=BE   ∠EBA=90°

∴∠DBE=60°∴△BDE是等边三角形。∴BD=DE=BE     …………12分

又∵∠FDB=∠ADB—∠ADF =90°-30°=60°   ∠DBF==60°

∴△BDF是等边三角形。   ∴BD=DF=BF            …………13分

∴DE=BE=DF=BF        ∴四边形为菱形    …………14分

（方法二）证明：依题意得：∠ADF=∠PDA  ∠APD=∠AFD

∵  ∠ADF=∠ABF  ∠PAD=∠DAF

∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF  …………10分

∴ AD=AF  BF//PD               …………11分

∴ DF⊥PB  ∵ BE为切线  ∴ BE⊥PB  ∴ DF//BE………12分

∴四边形为平行四边形…………13分

∵ PE 、BE为切线  ∴ BE=DE

∴四边形为菱形 …………14分