Question

王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A₁B₁=0.5m，最下面一级踏板的长度A₈B₈=0.8m．木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4cm的榫头（如图2所示），以此来固定踏板．现市场上有长度为2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），请问：制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？请说明理由．（不考虑锯缝的损耗）

Answer 1

分析：在解此题的过程中，一定要构建相似三角形，因为踏板之间是相互平行，而且间隔相等，所以可利用这一组平行线来构建相似三角形，从而依次求出自上而下各条踏板的长度．另外千万不要忽略榫头的长度；
解法二：可以把梯子看做一个等腰梯形，由中位线定理即可求解；
解法三：和解法二相同，都是利用梯形中位线，只不过又做了一条踏板A₉B₉，有A₁B₁和A₉B₉能求出A₅B₅，然后有A₅B₅和A₉B₉求出A₇B₇，再有A₇B₇和A₉B₉求出A₈B₈=80，从而算出A₉B₉的具体数值，这样的话，A₁B₁至A₈B₈的长就都能准确求出，从而算出一共需要多少材料．

解答：解：法一：如图，设自上往下第2，3，4，5，6，7级踏板的长依次为A₂B₂，A₃B₃，A₇B₇，过A₁作B₁B₈的平行线分别交A₂B₂，A₃B₃，A₈B₈于点C₂，C₃，…，C₈．
∵每两级踏板之间的距离相等，
∴C₈B₈=C₇B₇=…=C₂B₂=A₁B₁=50cm，A₈C₈=80-50=30cm．
∵A₂C₂∥A₈B₈，
∴∠A₁A₂C₂=∠A₁A₈C₈，∠A₁C₂A₂=∠A₁C₈A₈，
∴△A₁A₂C₂∽△A₁A₈C₈，
∴A₂C₂：A₈C₈=1：7，
∴A2C2=

30

7

，
∴A2B2=50+

30

7

，
设要制作A₁B₁，A₂B₂，…，A₇B₇，A₈B₈这些踏板需用木板的长度分别为a₁cm，a₂cm，…，a₈cm，
则a₁=50+8=58，a2=50+

30

7

+8=58+

30

7

，a3=58+

60

7

，a4=58+

90

7

，a5=58+

120

7

，a6=58+

150

7

，a7=58+

180

7

，a₈=58+30，
∵a1+a2+a3+a4=232+

180

7

＞210，
∴王大伯买的木板肯定不能少于3块，
又∵a1+a3+a6=174+

210

7

=204＜210，
a2+a4+a5=174+

240

7

＜174+

252

7

=210，
a7+a8=146+

180

7

=171

5

7

＜210，
∴王大伯最少买3块这样的木板就行了．

法二：如图，分别取A₁A₈，B₁B₈的中点P，Q，连接PQ．
设自上往下第2，3，4，5，6，7级踏板的长依次为A₂B₂，A₃B₃，…，A₇B₇，则由梯形中位线定理可得：
A₁B₁+A₈B₈=A₂B₂+A₇B₇=A₃B₃+A₆B₆=A₄B₄+A₅B₅=2PQ．（2分）
∵A₁B₁=50cm，A₈B₈=80cm，
∴A₁B₁+A₈B₈=A₂B₂+A₇B₇=A₃B₃+A₆B₆=A₄B₄+A₅B₅=130．（3分）
设要制作A₁B₁，A₂B₂，…，A₇B₇，A₈B₈，
这些踏板需用木板的长度为a₁cm，a₂cm，…，a₈cm，
则a₁+a₈=a₂+a₇=a₃+a₆=a₄+a₅=146．
∵a₁+a₂+…+a₈=146×4=584＞210×2，
∴王大伯买的木板肯定不能少于3块．（4分）
过A₁作B₁B₈的平行线分别交A₂B₂，A₃B₃，…，A₈B₈，
于点C₂，C₃，…，C₈．
∵每两级踏板之间的距离相等，
∴C₈B₈=C₇B₇=…=C₂B₂=A₁B₁=50cm，A₈C₈=80-50=30cm．
∵A₂C₂∥A₈B₈，
∴∠A₁A₂C₂=∠A₁A₈C₈，∠A₁C₂A₂=∠A₁C₈A₈，
∴△A₁A₂C₂∽△A₁A₈C₈，
∴A₂C₂：A₈C₈=1：7，
∴A2C2=

30

7

，
∴A2B2=50+

30

7

，（6分）
∴a2=58+

30

7

．
而a₁=58，a₈=88，
∴a₁+a₃+a₆=58+146=204＜210，a2+a4+a5=58+

30

7

+146=204+

30

7

＜210，a₇+a₈＜a₈+a₈=88×2＜210．
∴王大伯最少买3块这样的木板就行了．（8分）

法三：如果在梯子的下面再做第9级踏板，
它与其上面一级踏板之间的距离等于梯子相邻两级踏板之间的距离（如图），
设第9级踏板的长为xcm，
则由梯形中位线的性质可得：
第5级踏板的长A₅B₅=

1

2

（50+x）cm，
第7级踏板的长A₇B₇=

1

2

[

1

2

（50+x）+x]cm，
由题意得：
第8级踏板的长A₈B₈=

1

2

{

1

2

[

1

2

（50+x）+x]+x}=80，
解这个方程得：
x=84

2

7

，（2分）
由此可求得：
A7B7=75

5

7

cm，A5B5=67

1

7

cm，A6B6=71

3

7

cm，A3B3=58

4

7

cm，A2B2=54

2

7

cm，A4B4=62

6

7

cm．
设要制作A₁B₁，A₂B₂，…，A₇B₇，A₈B₈，这些踏板需截取的木板长度分别为a₁cm，a₂cm，…，a₈cm，
则a₁=50+8=58，a2=62

2

7

，a3=66

2

7

，a4=70

6

7

，a5=75

1

7

，a6=79

3

7

，a7=83

5

7

，a₈=88．
∴a₁+a₃+a₆=58+146=204＜210，a2+a4+a5=58+

30

7

+146=204+

30

7

＜210，a₇+a₈＜a₈+a₈=88×2＜210．
∴王大伯最少买3块这样的木板就行了（5分）

点评：此题构建相似三角形是关键，只要将实际问题转化为数学问题，利用相似比即可求出，相对来讲，方法三还是比较简单的．